★ 重学法学:逻辑学(三)命题逻辑

一、联言命题

断定几种事物同时存在的复合命题就是联言命题。

形式表现为「p并且q」,其中p、q称为「联言支」。

一个联言命题是真的,当且仅当它的各个联言支都是真的。

联言命题的有效式包括——

1.合成式:若分别肯定两个联言支,则可以肯定由这两个联言支组成的联言命题。

       p
       q
————
所以,p并且q

2.分解式:若肯定一个联言命题,则可以分别肯定其中的每一个联言支。

  p并且q             p并且q
———-  或者———- 
所以,p             所以,q

3.否定式:若否定一个联言支,则可以否定包含这个联言支的联言命题。

  并非p
—————–
所以,并非(p且q)

二、选言命题

断定几种事物至少有一种存在的复合命题,是选言命题。分为相容选言命题和不相容选言命题两类。

相容选言命题和不相容选言命题之间的区别在于:看其中的各个选言支是否能够同时成立;同时成立的,是相容选言命题;如果不能同时成立,是不相容选言命题。

相容选言命题的形式表现为,「p或者q」,其中p、q称为「选言支」。

相容选言推理的有效式包括——

1.否定肯定式:若肯定一个相容选言命题并且否定其中的一个选言支,则必须肯定其中的另一个选言支。

   p或者q
   非q
—————
   所以,q(p)

2.肯定肯定式:由肯定一个选言支,则必须肯定包含这个选言支的任一选言命题。

      p
—————-
所以,p或者q

由于相容选言命题的各个选言支可以同时成立,所以相容选言命题推理的肯定否定式是错误的。

不相容选言命题的标准形式是“要么p,要么q,二者必居其一”,仅仅在选言支p和q中有一个且只有一个为真时才为真,在其余情况下都是假的。

不相容选言推理的有效式包括——

1.否定肯定式:若否定一个不相容选言命题的选言支,则必须肯定它的另一个选言支。

   要么P,要么q
   非p(q)
—————-
所以,q(p)

2.肯定否定式:若肯定一个不相容选言命题的一个选言支,则必须否定它的另外一个选言支。

  要么p,要么q
  p(q)
—————
所以,非q(p)

三、假言命题

断定事物情况之间的条件关系的复合命题,是假言命题。由于条件关系分为三种:充分条件、必要条件和充分必要条件,因此假言命题也分为三种:充分条件假言命题、必要条件假言命题、充分必要条件假言命题。

充分条件假言命题是断定充分关系的假言命题。

事物情况p是事物情况q的充分条件是指:有p一定有q,但无p未必无q。

充分条件假言命题,只有在前件真后件假的情况才是假的,在前件真后件真、前件真后件真、前件假后件假的情况下都是真的。

因此,充分条件假言命题只要其前件是假的,或者其后件是真的,它本身就是真的。

充分条件假言推理的有效式包括——

1.肯定前件式

  如果p,那么q
     P
—————
  所以,q

2.否定后件式

  如果p,那么q
  非q
—————-
所以,非p

充分条件假言推理的否定前件式和肯定后件式,是无效的。

必要条件假言命题是断定必要条件关系的假言命题。

必要条件是指:无p一定无q,但有p未必有q。

必要条件假言命题,只有在前件假后件真的情况下才是假的,在前件真后件真、前件真后件假、前件假后件假的情况下都是真的。

根据真值逻辑(二值逻辑中,真值包括真、假二种值),如果p是q的充分条件,则q是p的必要条件;如果p是q的必要条件,则q是p的充分条件——

1.「如果p,那么q」=「只有q,才p」
2.「只有p,才q」=「如果q,那么p」
3.「只有p,才q」=「如果非p,那么非q」

必要条件推理的有效式包括——

1.否定前件式

  只有p,才q
  非p
————–
  所以,非q

2.肯定后件式

  只有p,才q
  q
————–
  所以,p

必要条件假言命题的无效式有肯定前件式和否定后件式。

四、充分必要条件假言命题

充分必要条件假言命题是断定充分必要条件关系的条件命题。

充分必要条件是指,有p就有q,并且无p就无q。

只有前件和后件同真或同假时,一个充分必要条件假言命题为真,前后件不同真或不同假的情况下都是假的。

充分必要条件推理的有效式包括——

  p当且仅当q
  p(q)
————–
  所以,q(p)

或者

  p当且仅当q
  非p(非q)
————–
  所以,非p(非q)

四、负命题

负命题,是由否定一个命题而得到的命题。

一个负命题为真,当且仅当它否定的命题为假。

负复合命题的等值命题——

1.「并非(p并且q)」=「非p或者非q」
2.「并非(p或者q)」=「非p且非q」
3.「并非如果p则q」=「p并且非q」
4.「并非只有p才q」=「非p且q」
5.「并非(p当且仅当q)」=「p且非q,或者,非p且q」

五、常见的几种复合命题推理

1.反三段论:如果两个前提能够推出一个结论,那么,如果结论不成立并且其中的一个前提成立,则另一个前提不成立。

  如果p且q则r
———————-
所以,如果非r且p则非q

或者

  如果p且q则r
———————-
所以,如果非r且q则非p

2.归谬式推理:如果从一个命题出发能够推出自相矛盾的结论,则这个命题肯定不成立。

  如果p则q
  如果p则非q
————-
  所以,非p

3.反证式推理:如果否定一个命题能够推出自相矛盾的结论,则这个命题成立。

  如果非p则q
  如果非p则非q
—————
  所以,p

4.二难推理:实际上是假言推理和选言推理的符合。

简单构成式——

  如果p则r
  如果q则r
  p或者q
———-
  所以,r

复杂构成式——

  如果p则r
  如果q则s
  p或者q
———-
  r或者s

六、真值联结词、真值形式、重言式

真值联结词,是指撇开联结词所表达的各支命在内容、意义上的联系,而只考虑支命题之间、以及支命题与该复合命题本身之间的真假关系的联结词。

表达形式——

1.∧:读作「合取」,相当于「并且」。
2.∨:读作「析取」,相当于「或者」。
3.→:读作「蕴涵」,相当于「如果,则」。
4.↔:读作「等值」,相当于「当且仅当」。
5. ¬:读作「否定」,相当于「并非」。

真值形式——

1.任一命题变项是真值形式。
2.如果A是真值形式,则 A是真值形式
3.如果A和B是真值形式,则A∧B,A∨B,A→B,A↔B是真值形式。
4.只有按以上方式形成的符号串是真值形式。

一个真值形式,如果不论其中的命题变项取什么样的真值,它恒取真值真,则该真值形式是重言式;
一个真值形式,如果不论其中的命题变项取什么样的真值,它恒取真值假,则该真值形式是矛盾式;
一个真值形式,如果对于其中命题变项的某些真值组合取真值真,对于某些另外的真值组合取值为假,则该真值形式是偶真式。

判断一个真值形式是不是重言式,有多种方法——

1.真值表法

首先,找出该公式中所有不同的命题变项,并竖行列出它们之间所有可能的真值组合。
然后,按照该公式的生成次序,由简单到复杂的列出该公式所有子公式,直至该公式本身。
最后,按照上面给出的真值表,由命题变项的真值逐步计算出各个子公式的真值,直至该公式本身的真值。

2.归谬法

首先,假设一个公式不是重言式,即可以为假。
然后按照命题联结词的真值表,逐步计算出各个子公式的真值,直至计算出其中所含的命题变项的真值,看能否导致矛盾的赋值。
若无矛盾的赋值,根据归谬法,原假设不成立,该公式是重言式。

七、模态命题及其推理

在逻辑中,「必须」、「可能」、「不可能」等叫做「模态词」,包含模态词的命题叫做「模态命题」。

各个模态命题之间的推理关系——

1.「必然p」推出「并非必然非p」;
2.「必然非p」推出「并非必然p」;
3.「必然p」推出「可能p」;
4.「并非可能p」推出「并非必然p」;
5.「必然非p」推出「可能非p」;
6.「并非可能非p」推出「并非必然非p」;
7.「不可能P」推出「可能非P」;
8「不可能非P」推出「可能P」;
9.「必然p」等值于「并非可能非p」;
10.「必然非p」等值于「并非可能p」;
11.「可能P」等值于「并非必然非p」;
12.「可能非p」等值于「并非必然p」;
13.「不可能p」等值于「必然非p」。

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