命题逻辑与词项逻辑的局限性
命题逻辑刻画复合命题的逻辑性质及其推理关系,词项逻辑刻画直言命题的逻辑性质及其推理关系。但都有其自己的局限性——
1.它们都不能处理关系命题及其推理。
2.它们都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其推理。
谓词逻辑是什么?
谓词逻辑将命题拆分为个体词、谓词、量词,有时候还要加上联结词。
个体词包括个体变项和个体常项。个体变项使用小写字母x、y、z……,表示某个特定的范围内的某个不确定的对像。个体常项使用小写字母a、b、c……,他们表示某个特定范围内的某个确定的对像。而「某个特定范围」,其实指的是「论域」,即由一定对像所组成的类或集合。论域规定了个体变项的取值范围,因此也叫个体变项的「值域」。
谓词符号使用大写字母F、G、R……,经过解释之后,表示论域中个体的性质和个体之间的关系。表现形式有F(x)、G(x,y)、S(x,a,y)……这些称作「原子公式」。
量词包括全称量词 和 存在量词(符号找不到)。
全称量词是指:「对于所有x,x是F」。
存在量词是指:「存在x使得x是F」。
量词逻辑的公式是什么?
1.一个谓词符号F,后面跟着有写一对括号内的、用逗号隔开的、适当数目的个体变项x,y,z或个体变项a,b,c等,是原子公式。
2.如果A是共识,则¬A是公式。
3.如果A和B都是公式,则AΛB,AVB,A→B,A↔B是公式。
4.如果A是公式,则「全称量词」xA,「存在量词」xA是公式。
5.只有按以上方式形成的符号串是公式。
量词有其管辖的范围,称为「辖域」。一个量词后面最短的公式就是该量词的辖域。
自然语言中量化命题的符号化(关于这部分,由于符号打不出来,就不记录公式了)
一、全称的直言命题符号化为一个全称蕴涵式。
SAP:「对于任一x而言,如果x是S,则x是P」。
SEP:「对于任一x而言,如果x是S,则x不是P」。
二、特称直言命题符号化为存在合取式。
SIP:「存在着这样的x,使得x是S并且x是P」。
SOP:「存在着这样的x,使得x是S但不是P」。
三、单称的直言命题符号化为原子公式。
谓词逻辑的模型与赋值
谓词逻辑的符号与公式,需要通过模型与复制来赋予它们意义和真假。
谓词逻辑语言的一个逻辑U,包括——
1.一个个体域D,即由具有一定个体所构成的集合。当给定个体域之后,全称量词?x表示个体域中的所有个体,存在量词?x表示个体域中的某些个体。也就是说,全称量词、存在量词和约束个体变项的意义都确定了。
2.个体常项在个体域D中的值,即个体常项表示个体域中的某个特定个体。
3.谓词符号在个体域D上的解释,即表示个体域中个体的性质和个体之间的关系。
谓词逻辑的有效式(符号打不出来,标记一下)
二元关系包含了怎样的关系?
二元关系中的逻辑性质,包含了关系的自返性、对称性和传递性。
一关系 R 是自返的,当且仅当,对任一 x 而言,x与它自身有 R 关系,即 R(x,y) 成立。
一关系 R 是对称的,当且仅当,对任一 x 和 y 而言,如果 R(x,y),则 R(y,x)。
一关系 R 是传递的,当且仅当,对任一 x、y 和 z 而言,如果 R(x,y) 并且 R(y,z) ,则 R(x,z)。
如果根据一个关系,能够在对像之间排出某种次序来,每个对像在这种次序中有一个唯一确定的位置,这样的关系叫做「偏序关系」,它必定满足于非自返性、非对称性和传递性。