★ 重读法学:逻辑学(五)谓词逻辑

命题逻辑与词项逻辑的局限性

命题逻辑刻画复合命题的逻辑性质及其推理关系,词项逻辑刻画直言命题的逻辑性质及其推理关系。但都有其自己的局限性——

1.它们都不能处理关系命题及其推理。
2.它们都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其推理。

谓词逻辑是什么?

谓词逻辑将命题拆分为个体词谓词量词,有时候还要加上联结词

个体词包括个体变项个体常项。个体变项使用小写字母x、y、z……,表示某个特定的范围内的某个不确定的对像。个体常项使用小写字母a、b、c……,他们表示某个特定范围内的某个确定的对像。而「某个特定范围」,其实指的是「论域」,即由一定对像所组成的类或集合。论域规定了个体变项的取值范围,因此也叫个体变项的「值域」。

谓词符号使用大写字母F、G、R……,经过解释之后,表示论域中个体的性质和个体之间的关系。表现形式有F(x)、G(x,y)、S(x,a,y)……这些称作「原子公式」。

量词包括全称量词 和 存在量词(符号找不到)。

全称量词是指:「对于所有x,x是F」。

存在量词是指:「存在x使得x是F」。

量词逻辑的公式是什么?

1.一个谓词符号F,后面跟着有写一对括号内的、用逗号隔开的、适当数目的个体变项x,y,z或个体变项a,b,c等,是原子公式。
2.如果A是共识,则¬A是公式。
3.如果A和B都是公式,则AΛB,AVB,A→B,A↔B是公式。
4.如果A是公式,则「全称量词」xA,「存在量词」xA是公式。
5.只有按以上方式形成的符号串是公式。

量词有其管辖的范围,称为「辖域」。一个量词后面最短的公式就是该量词的辖域。

自然语言中量化命题的符号化(关于这部分,由于符号打不出来,就不记录公式了)

一、全称的直言命题符号化为一个全称蕴涵式。

SAP:「对于任一x而言,如果x是S,则x是P」。

SEP:「对于任一x而言,如果x是S,则x不是P」。

二、特称直言命题符号化为存在合取式。

SIP:「存在着这样的x,使得x是S并且x是P」。

SOP:「存在着这样的x,使得x是S但不是P」。

三、单称的直言命题符号化为原子公式。

谓词逻辑的模型与赋值

谓词逻辑的符号与公式,需要通过模型与复制来赋予它们意义和真假。

谓词逻辑语言的一个逻辑U,包括——

1.一个个体域D,即由具有一定个体所构成的集合。当给定个体域之后,全称量词?x表示个体域中的所有个体,存在量词?x表示个体域中的某些个体。也就是说,全称量词、存在量词和约束个体变项的意义都确定了。
2.个体常项在个体域D中的值,即个体常项表示个体域中的某个特定个体。
3.谓词符号在个体域D上的解释,即表示个体域中个体的性质和个体之间的关系。

谓词逻辑的有效式(符号打不出来,标记一下)

二元关系包含了怎样的关系?

二元关系中的逻辑性质,包含了关系的自返性对称性传递性

一关系 R 是自返的,当且仅当,对任一 x 而言,x与它自身有 R 关系,即 R(x,y) 成立。

一关系 R 是对称的,当且仅当,对任一 x 和 y 而言,如果 R(x,y),则 R(y,x)。

一关系 R 是传递的,当且仅当,对任一 x、y 和 z 而言,如果 R(x,y) 并且 R(y,z) ,则 R(x,z)。

如果根据一个关系,能够在对像之间排出某种次序来,每个对像在这种次序中有一个唯一确定的位置,这样的关系叫做「偏序关系」,它必定满足于非自返性、非对称性和传递性。

★ 思考:个人知识管理(五)

Wiki与关键字

在知识管理领域里面,不可以不提维基百科。维基百科的出现,是人类开始对知识进行记录、搜集、整理以来,最具有革新性的。维基百科的出现,使人类知识的传承,有了一个稳定的可靠的地方。

关于维基百科,我不打算进行深入的讨论。虽然我很有兴趣。而我要讨论的是,在 Wiki 类程序中,知识是怎么被组织的。在 Wiki 中,内容的组织与管理,所依赖的是「关键字」系统,图例如下——

keyword

如上图所示,蓝色的字,就是「关键字」。在 Wiki 语法中,添加一个关键字,只需要如下代码——

[[ KeyWords ]]

就可以了。

因此,在 Wiki 系统中,关键字的添加,非常方便。而每个关键字,就透露出了这份资料与哪些资料具有相关性。在内容的展示上,「关键字」明显比「标签」、「分类」要丰富得多。

想当初维基百科的出现,所依托的是一种类似知识卡片的程序。这个程序,将一个个网页当作知识卡片。如果将这些网页式的知识卡片用堆叠的方式来管理,比如将知识卡片堆起来放在侧边栏,那么就会陷入我在《思考:个人知识管理(二)》中所说的分类过于细化的困境。

关键字的出现,意义在于,卡片无需外化才能显示,能在文章中直接标记出来,如果对相关的知识不了解,只要点击关键字就可以找到自己想要的内容(当然前提是该关键字已经编辑过了)。

「关键字」,是最能反映内容的一个内容组织方式,如果将「分类」与「标签」都看成一种内容组织方式的话。或者这么说,在「分类」中,内容的组织,还只是一种树状的结构,由众多主节点与子节点组成,看起来就就像是一棵大树,无数子节点是树上无数个树杈;在「标签」,内容的组织已经变成一个网,每个内容都只是网中的一个节点;而「关键字」就是比「标签」更加复杂的网。

虽然 Wiki 是一张复杂的大网,但是由于使用了「关键字」来组织管理内容,使其内容在展示上变得直观、操作上变得简便,人们在检索自己想要了解的内容时,不必像「分类」那样,要按图索骥的去找;也不必像「标签」那样,在众多标签中,选出你需要的那一个。

因此,「关键字」这种对内容的组织方法,将内容的相关性提升到了一个极限,几乎是可以最大化的将所有内容以最多的角度展示出来。